Facebookで私が使っているアプリ、知っているアプリを簡単に紹介します。
なお、私もまだFacebookを使い始めて日が浅く、多くのアプリを使って遊んできたわけではありません。偶然友人になった人から招待されて使い始めたというものがほとんどなので、私の知らない面白いアプリはもっとたくさんあると思います。
(1)ミニフィード(標準)標準機能で、自分のFacebook内でのアクティビティ(活動)が記録されます。また、この活動がフィードとして友達に通知されます。

Facebookアプリの多くは、アプリでの活動がミニフィードに流れるようになっていて、「どのアプリで遊んだ」という状況が友達に通知されるようになっています。(そこが面白いポイントだと個人的には思っています)
(2)ステータスメッセージ(標準)twitterなどで「今何してる」とつぶやくのとほぼ同じ機能が、ステータスメッセージです。
後に紹介するtwitterアプリを使えば、twitter側でつぶやいたメッセージで自動的にFacebookのステータスメッセージが更新されるようにできます。

(3)MyCityちょっと前?に流行ったMyMiniCityのFacebook版で、Microsoftのチームが作成しています。
http://www.facebook.com/apps/application.php?id=10338565545

MyMiniCityとは若干ルールは異なりますが、自分の町を作って、そこに住人を増やしていくと町の画像が発展していくという仕組みは同じです。
Facebook上では、「誰が」住人を追加したのか、という情報が残るようになっていて、そこから知らない人との交流が生まれるきっかけにもなるようです。
アプリの入門?にはちょうど良いような気がします。
ただ、アプリのサーバーがかなり混雑していて上手くつながらないことが多いように個人的には思います。
→私の町 GALONGE (全然発展してません。。。)

(4)Twitterみなさんご存知のTwitterをFacebookと連携させるアプリです。
http://www.facebook.com/apps/application.php?id=2231777543先に説明したステータスメッセージを自動更新したり、Facebook内からTwitterメッセージをポストしたりできます。

(5)FriendFeedFriendFeedの自分のフィードをFacebookに取り込むアプリです。
http://www.facebook.com/apps/application.php?id=2795223269FriendFeedを使っている場合、このアプリを使用するとFriendFeedで捕捉する情報をすべてFacebookにも流すことができます。

(6)OWNED私がFacebookが面白いなと思い始めるきっかけとなったアプリの1つです。
http://www.facebook.com/apps/application.php?id=6251039081

自分がFacebookにアップロードした写真や画像を金額(ポイント)をつけて出品して、他の人がポイントを使ってそれを購入します。購入されたものにはさらに金額が上乗せされ、他の人がその分のポイントを所有していれば購入することができます。
#ここでのポイントとは単なるゲーム内の点数のようなものです。
以下は私が出品している写真などです。写真を撮影するのが好きな方は出品すると楽しいと思います。

私が出品している写真を、他の人が次々に高いポイントで購入していきます。(画面下が購入の履歴)

このアプリに写真を出品して
お金を稼げるわけでは決してありませんのでご注意ください(笑)
他の人に自分が撮影した写真を気に入ってもらえたり、仲の良い友人どおしでお互いを所有しあうことを楽しむ、というアプリです。
(7)SuperPokeFacebookアプリの開発で一躍有名になったSlide.com作のアプリです。
http://www.facebook.com/apps/application.php?id=2357179312アプリとしては非常にお手軽に遊べるものの1つだと思います。
SuperPokeを使っている友達に、いろいろな形でPokeする(例えば「つっつく」など)ことができ、Pokeされた相手もSuperPokeを使っていろいろな形で返事ができます。

(8)Knighthoodhttp://apps.facebook.com/knighthood/MyCityをさらに複雑にしたようなアプリです。私は実際ほとんど遊んでいません(笑)
自分のお城があり、部下の兵士(友達)を雇ってお城を強化したり、他の人のお城に攻め込んだりして遊ぶようですが、詳しいことは理解できていません。
友達から紹介されてアプリを追加して、その友達の部下になったままの状態ですw

(9)WassrwassrのFacebookアプリです。
http://www.facebook.com/apps/application.php?id=10176403022Wassrユーザーとして一応紹介しますが、Facebookとの連携部分はまだあまり作りこまれていないようですので、今後に期待といったところでしょうか。

上記以外にも、Second Lifeの友人を表示する「
Second Life Link」、友達とのつながりを円形の図形に表示する「
Friend Wheel」などなど、たくさんのアプリがありますので、友達どおしでいろいろなアプリを試すのがFacebookの楽しむコツだと私は思ってます。
P.S.
アプリの説明などで間違いがありましたらご指摘お願いします。
P.S.2
私の
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